Question

સમાન દ્રવ્યમાનવાળા બે ગ્રહ \( P_1 \) અને \( P_2 \)ની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે \( R_1 \) અને \( R_2 \) છે, જ્યાં \( R_2 = \frac{R_1}{2} \). \( P_1 \) અને \( P_2 \)ની એસ્કેપ સ્પીડ \( v_1 \) અને \( v_2 \) છે. તો \( \frac{v_2}{v_1} \) નું મૂલ્ય છે:

• A. 2
• B. \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
• C. 1
• D. \( \sqrt{2} \)

Hint:

એસ્કેપ સ્પીડ ત્રિજ્યાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. જો ત્રિજ્યા ઘટે, તો એસ્કેપ સ્પીડ વધે છે!

Answer 1

The Correct Option is D

Step 1: Understanding the Concept:
કોઈપણ ગ્રહ માટે એસ્કેપ સ્પીડ (નિષ્ક્રમણ ઝડપ) નું સૂત્ર \( v = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \) છે, જ્યાં \( M \) ગ્રહનું દ્રવ્યમાન અને \( R \) તેની ત્રિજ્યા છે.

Step 2: Detailed Explanation:
અહીં બંને ગ્રહનું દ્રવ્યમાન \( M \) સમાન છે. તેથી, \( v \propto \frac{1}{\sqrt{R}} \).
\[ \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} \]
આપેલ છે કે \( R_2 = \frac{R_1}{2} \), તેથી \( \frac{R_1}{R_2} = 2 \).
\[ \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{2} \]

Step 3: Final Answer:
ગુણોત્તર \( \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{2} \) છે.