Question

लम्बाई \(L\), द्रव्यमान \(m\) तथा विद्युत आवेश \(q\) से आवेशित गोलक वाला एक सरल लोलक आवर्तकाल \(T\) के साथ \(-\hat{z}\) की दिशा में स्थित एकसमान गुरुत्व के प्रभाव में दोलन कर रहा है। इस लोलक को एकसमान विद्युत क्षेत्र \(|E|\hat{n}\) (जहां \(\hat{n}\) दोलन-तल में एक इकाई सदिश है) में स्थापित करने पर दोलन का आवर्तकाल घट जाता है। निम्न में से कौन सा कथन गलत है?

• A. \(q\) धनात्मक है तथा \(\hat{n} = \hat{z}\)
• B. \(q\) धनात्मक है तथा \(\hat{n} = -\hat{z}\)
• C. \(q\) ऋणात्मक है तथा \(\hat{n} = \hat{z}\)
• D. \(q\) धनात्मक है तथा \(\hat{n} \cdot \hat{z} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Hint:

जब भी विद्युत क्षेत्र और गुरुत्व एक ही दिशा में (या आंशिक रूप से एक ही दिशा में) कार्य करते हैं, तो प्रभावी त्वरण बढ़ता है और आवर्तकाल घटता है। विपरीत दिशा में बल होने पर आवर्तकाल बढ़ता है।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न विद्युत क्षेत्र में लोलक की गति और प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण (\(g_{eff}\)) की गणना पर आधारित है।
हमें वह कथन खोजना है जो आवर्तकाल में कमी के अनुकूल नहीं है (अर्थात गलत कथन)।

Step 2: Key Formula or Approach:
सरल लोलक का आवर्तकाल \(T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}\) होता है।
आवर्तकाल घटने के लिए प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण \(g_{eff}\) का मान प्रारंभिक गुरुत्व \(g\) से अधिक होना चाहिए (\(g_{eff} > g\))।

Step 3: Detailed Explanation:

• प्रभावी त्वरण की गणना:
प्रारंभिक गुरुत्वीय त्वरण: \(\vec{g} = -g\hat{z}\)
विद्युत बल के कारण त्वरण: \(\vec{a}_e = \frac{q\vec{E}}{m} = \frac{q|E|\hat{n}}{m}\)
प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण:
\[ \vec{g}_{eff} = -g\hat{z} + \frac{q|E|}{m}\hat{n} \]
इसका परिमाण:
\[ g_{eff}^2 = g^2 + \left(\frac{q|E|}{m}\right)^2 - \frac{2gq|E|}{m}(\hat{z} \cdot \hat{n}) \]
आवर्तकाल घटने के लिए, हमें \(g_{eff} > g\) चाहिए, जिसके लिए:
\[ \left(\frac{q|E|}{m}\right)^2 - \frac{2gq|E|}{m}(\hat{z} \cdot \hat{n}) > 0 \]

• विकल्पों का विश्लेषण:
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विकल्प (A): \(q > 0\) और \(\hat{n} = \hat{z}\)
यहाँ विद्युत बल ऊपर की ओर (\(+\hat{z}\)) कार्य करेगा, जो गुरुत्वाकर्षण बल के विपरीत है।
इससे प्रभावी त्वरण \(g_{eff} = g - \frac{q|E|}{m}\) हो जाएगा (यदि विद्युत बल छोटा है), जिससे आवर्तकाल बढ़ेगा। अतः यह कथन गलत है।
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विकल्प (B): \(q > 0\) और \(\hat{n} = -\hat{z}\)
विद्युत बल नीचे की ओर कार्य करेगा, जिससे \(g_{eff} = g + \frac{q|E|}{m} > g\) होगा और आवर्तकाल घटेगा। यह सही है।
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विकल्प (C): \(q < 0\) और \(\hat{n} = \hat{z}\)
ऋणात्मक आवेश के कारण बल क्षेत्र के विपरीत दिशा में (अर्थात नीचे की ओर) लगेगा। \(g_{eff} > g\), आवर्तकाल घटेगा। यह सही है।
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विकल्प (D): \(q > 0\) और \(\hat{n} \cdot \hat{z} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
यहाँ अदिश गुणनफल ऋणात्मक है, जिससे \(g_{eff}\) का मान \(g\) से अधिक हो जाएगा। यह भी आवर्तकाल को घटाएगा। यह सही है।