Question

एक अज्ञात नाभिक का, नाभिकीय घनत्व 2.29 × 10¹⁷ kg/m³ और द्रव्यमान 19.926 × 10⁻²⁷ kg है। उसकी द्रव्यमान संख्या A लगभग है: 
(R₀ = 1.2 × 10⁻¹⁵ m, 4π/3 ≈ 4.19 लीजिए) (Note: The OCR is slightly garbled, but the context is clear. Using 4π/3 ≈ 4.19 which is a more standard approximation than 12.56) 
 

• A. 12
• B. 19
• C. 20
• D. 16

Hint:

याद रखें कि नाभिकीय घनत्व लगभग स्थिर होता है और द्रव्यमान संख्या A पर निर्भर नहीं करता है। यदि आपको नाभिकीय घनत्व दिया गया है, तो आप इसका उपयोग किसी भी नाभिक के लिए कर सकते हैं।

Answer 1

The Correct Option is A

पद 1: प्रश्न को समझना
हमें एक अज्ञात नाभिक का घनत्व (\(\rho\)) और द्रव्यमान (\(m\)) दिया गया है। हमें इसकी द्रव्यमान संख्या (A) ज्ञात करनी है।
पद 2: मुख्य सूत्र या दृष्टिकोण
1. घनत्व की परिभाषा: घनत्व द्रव्यमान और आयतन का अनुपात है। \[ \rho = \frac{m}{V} \] 2. नाभिक का आयतन: एक नाभिक को लगभग एक गोला माना जाता है जिसकी त्रिज्या R होती है। \[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \] 3. नाभिकीय त्रिज्या: नाभिक की त्रिज्या (R) उसकी द्रव्यमान संख्या (A) पर निर्भर करती है: \[ R = R_0 A^{1/3} \] जहाँ \(R_0\) एक स्थिरांक है, जिसका मान लगभग 1.2 × 10⁻¹⁵ m है।
हम घनत्व के सूत्र से द्रव्यमान संख्या A को हल कर सकते हैं। \[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{m}{\frac{4}{3}\pi (R_0 A^{1/3})^3} = \frac{m}{\frac{4}{3}\pi R_0^3 A} \] इस समीकरण को A के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: \[ A = \frac{m}{\rho \left(\frac{4}{3}\pi R_0^3\right)} \] एक वैकल्पिक और सरल दृष्टिकोण यह है कि नाभिकीय घनत्व लगभग सभी नाभिकों के लिए स्थिर होता है। हम दिए गए घनत्व मान की स्थिरता की जाँच कर सकते हैं। \[ \rho = \frac{\text{नाभिक का द्रव्यमान}}{\text{नाभिक का आयतन}} = \frac{A \times m_p}{\frac{4}{3}\pi (R_0 A^{1/3})^3} = \frac{A m_p}{\frac{4}{3}\pi R_0^3 A} = \frac{m_p}{\frac{4}{3}\pi R_0^3} \] (जहाँ \(m_p\) एक न्यूक्लियॉन का लगभग द्रव्यमान है)। यह दिखाता है कि घनत्व A पर निर्भर नहीं करता है। दिए गए घनत्व और द्रव्यमान का उपयोग करके, हम आयतन की गणना कर सकते हैं, और फिर आयतन से A की गणना कर सकते हैं। पद 3: विस्तृत व्याख्या
दिए गए मान: नाभिकीय घनत्व, \(\rho = 2.29 \times 10^{17} \, \text{kg/m}^3\) नाभिक का द्रव्यमान, \(m = 19.926 \times 10^{-27} \, \text{kg}\) \(R_0 = 1.2 \times 10^{-15} \, \text{m}\) सबसे पहले, हम घनत्व के सूत्र का उपयोग करके नाभिक का आयतन (V) ज्ञात करते हैं: \[ V = \frac{m}{\rho} = \frac{19.926 \times 10^{-27} \, \text{kg}}{2.29 \times 10^{17} \, \text{kg/m}^3} \] \[ V \approx 8.70 \times 10^{-44} \, \text{m}^3 \] अब, हम आयतन के सूत्र का उपयोग करके द्रव्यमान संख्या A ज्ञात करते हैं: \[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3}\pi R_0^3 A \] A के लिए हल करने पर: \[ A = \frac{V}{\frac{4}{3}\pi R_0^3} \] मानों को प्रतिस्थापित करने पर: \[ A = \frac{8.70 \times 10^{-44}}{\frac{4}{3}\pi (1.2 \times 10^{-15})^3} \] \[ A = \frac{8.70 \times 10^{-44}}{\frac{4}{3}\pi (1.728 \times 10^{-45})} \] \[ A = \frac{8.70 \times 10^{-44}}{4.19 \times (1.728 \times 10^{-45})} \quad (\text{using } 4\pi/3 \approx 4.19) \] \[ A = \frac{8.70 \times 10^{-44}}{7.24 \times 10^{-45}} \] \[ A = \frac{8.70}{0.724} \approx 12.01 \] पद 4: अंतिम उत्तर
द्रव्यमान संख्या A लगभग 12 है। यह विकल्प (A) से मेल खाता है।