Question

यदि रेखा l1 बिन्दु(1, 1, 1) व बिन्दु(3, 1, 3) को जोड़ती है तथा रेखा l2 बिन्दु(0, 2, −1) व बिन्दु(2, 0, 3) को जोड़ती है, तो रेखा l1 तथा l2 के बीच का कोण क्या है?

• A. 30o
• B. 60o
• C. 45o
• D. 90o

Hint:

जब भी रेखाओं के बीच का कोण निकालना हो, पहले उनके दिशा सदिशों \(\vec{d_1}\) और \(\vec{d_2}\) को सरलतम रूप में लिखें।
उदाहरण के लिए, यहाँ \(\vec{d_1}\) को \(\hat{i} + \hat{k}\) और \(\vec{d_2}\) को \(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}\) लेकर भी समान उत्तर आसानी से प्राप्त किया जा सकता था।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न त्रिविमीय ज्यामिति (Three Dimensional Geometry) के अंतर्गत दो रेखाओं के बीच के कोण की गणना से संबंधित है।
हमें दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखाओं के दिक्-अनुपात (direction ratios) ज्ञात करके उनके बीच का कोण निकालना है।

Step 2: Key Formula or Approach:
दो सदिशों \(\vec{d_1}\) और \(\vec{d_2}\) के बीच का कोण \(\theta\) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
\[ \cos\theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|} \]

Step 3: Detailed Explanation:

• रेखा \(l_1\) की दिशा सदिश (\(\vec{d_1}\)): यह बिन्दु \((1, 1, 1)\) और \((3, 1, 3)\) को मिलाती है।
\[ \vec{d_1} = (3-1)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = 2\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k} \]
इसकी लंबाई:
\[ |\vec{d_1}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

• रेखा \(l_2\) की दिशा सदिश (\(\vec{d_2}\)): यह बिन्दु \((0, 2, -1)\) और \((2, 0, 3)\) को मिलाती है।
\[ \vec{d_2} = (2-0)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (3 - (-1))\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k} \]
इसकी लंबाई:
\[ |\vec{d_2}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

• दोनों सदिशों का अदिश गुणनफल (Dot Product):
\[ \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (2)(2) + (0)(-2) + (2)(4) = 4 + 0 + 8 = 12 \]

• कोण \(\theta\) की गणना:
\[ \cos\theta = \frac{12}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{6})} = \frac{12}{4\sqrt{12}} = \frac{12}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
चूंकि \(\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\), इसलिए:
\[ \theta = 30^\circ \]

अतः, रेखाओं के बीच का कोण \(30^\circ\) है।

Step 4: Final Answer:
अतः, सही विकल्प (A) है क्योंकि दिक्-अनुपातों के अदिश गुणनफल से कोण का मान ठीक \(30^\circ\) प्राप्त होता है।