Question

फलन f : R $\rightarrow$ R निम्न द्वारा परिभाषित है:
f(x) = |x − 2| + 3|x − 1| + ||x − 2| − 1| .
ऐसे कितने बिन्दु हैं जिन पर f अवकलनीय नहीं है?

• A. 2
• B. 1
• C. 0
• D. 3

Hint:

जब एक ही मापांक पद समीकरण में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों रूपों में समान गुणांक के साथ उपस्थित हो (जैसे यहाँ \(|x-2|\) और \(-|x-2|\)), तो वह बिन्दु अक्सर अवकलनीय बन जाता है क्योंकि उसके कोणीय प्रभाव आपस में निरस्त हो जाते हैं।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न मापांक फलनों (absolute value functions) की अवकलनीयता (differentiability) से संबंधित है।
हमें दिए गए जटिल मापांक फलन के उन 'तीक्ष्ण कोनों' (sharp corners) या बिन्दुओं की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है।

Step 2: Detailed Explanation:

• फलन के भीतर उपस्थित विभिन्न मापांकों के शून्य होने वाले संभावित क्रांतिक बिन्दु (critical points) निम्नलिखित हैं:
1. \(|x - 2| = 0 \implies x = 2\)
2. \(|x - 1| = 0 \implies x = 1\)
3. \(||x - 2| - 1| = 0 \implies |x - 2| = 1 \implies x = 3 \text{ या } x = 1\)
अतः, अवकलनीयता की जांच के लिए संभावित संदिग्ध बिन्दु केवल \(x = 1, 2, 3\) हैं।

• बिन्दु \(x = 2\) पर विश्लेषण:
अंतराल \((1, 3)\) में:
चूंकि \(x \in (1, 3)\), इसलिए \(|x - 1| = x - 1\) और \(|x - 2| < 1\), जिससे \(||x - 2| - 1| = 1 - |x - 2|\).
अतः इस अंतराल में फलन होगा:
\[ f(x) = |x - 2| + 3(x - 1) + (1 - |x - 2|) \]
यहाँ \(|x-2|\) का पद पूर्णतः कट जाता है!
\[ f(x) = 3x - 3 + 1 = 3x - 2 \]
चूँकि \(f(x)\) इस पूरे अंतराल में एक रैखिक फलन (polynomial) है, इसलिए यह \(x = 2\) पर पूरी तरह से अवकलनीय (differentiable) है।

• बिन्दु \(x = 1\) पर विश्लेषण:
अंतराल \((0, 2)\) में फलन का रूप:
\[ f(x) = (2 - x) + 3|x - 1| + |x - 1| = 2 - x + 4|x - 1| \]
यहाँ स्पष्ट रूप से \(x = 1\) पर \(|x-1|\) की उपस्थिति के कारण एक तीक्ष्ण मोड़ (sharp corner) बनेगा, जिससे फलन \(x = 1\) पर अवकलनीय नहीं है।

• बिन्दु \(x = 3\) पर विश्लेषण:
अंतराल \((2, 4)\) में फलन का रूप:
\[ f(x) = (x - 2) + 3(x - 1) + |x - 3| = 4x - 5 + |x - 3| \]
यहाँ भी \(x = 3\) पर \(|x-3|\) की उपस्थिति के कारण फलन अवकलनीय नहीं है।

अतः, फलन केवल दो बिन्दुओं (\(x = 1\) और \(x = 3\)) पर अवकलनीय नहीं है।

Step 3: Final Answer:
अतः, सही विकल्प (A) है क्योंकि सरल करने पर \(x=2\) पर मापांक का प्रभाव समाप्त हो जाता है और केवल 2 बिन्दुओं पर अवकलनीयता का अभाव बचता है।