Question

एक परीक्षा में विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों के आँकड़ों पर विचार कीजिए। यदि प्रत्येक विद्यार्थी के अंकों को 2 अंकों से बढ़ा दिया जाए तो निम्न में से कौन सा कथन सत्य है?

• A. माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन नहीं बदलेगा।
• B. माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन 2 से बढ़ जाएगा।
• C. माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन 2 से बढ़ जाएगा।
• D. प्रसरण 2 से बढ़ जाएगा।

Hint:

याद रखें कि अपकिरण की मापें (जैसे माध्य विचलन, मानक विचलन, प्रसरण, परास आदि) मूल बिन्दु के परिवर्तन (जोड़ने या घटाने) से 'अपरिवर्तित' रहती हैं, परंतु पैमाने के परिवर्तन (गुणा या भाग करने) से प्रभावित होती हैं।

Answer 1

The Correct Option is A

Step 1: Understanding the Question:
यह प्रश्न सांख्यिकी (statistics) के अंतर्गत विक्षेपण के मापों (measures of dispersion) पर मूल बिन्दु के परिवर्तन (change of origin) के प्रभाव से संबंधित है।
हमें यह निर्धारित करना है कि प्रत्येक आंकड़े में एक अचर संख्या (2) जोड़ने पर माध्य विचलन (mean deviation) और प्रसरण (variance) पर क्या प्रभाव पड़ता है।

Step 2: Detailed Explanation:

• मान लीजिए कि मूल आंकड़े \(x_1, x_2, \dots, x_n\) हैं और उनका माध्य \(\bar{x}\) है।

• जब प्रत्येक विद्यार्थी के अंक को 2 से बढ़ा दिया जाता है, तो नए आंकड़े \(y_i = x_i + 2\) हो जाते हैं।

• नया माध्य भी 2 से बढ़ जाएगा:
\[ \bar{y} = \bar{x} + 2 \]

• माध्य के सापेक्ष नया विचलन (deviation):
\[ y_i - \bar{y} = (x_i + 2) - (\bar{x} + 2) = x_i - \bar{x} \]

• चूँकि प्रत्येक आंकड़े का अपने नए माध्य से अंतर (\(|y_i - \bar{y}|\)) मूल अंतर (\(|x_i - \bar{x}|\)) के बिल्कुल समान है, इसलिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन (Mean Deviation about Mean) अपरिवर्तित रहेगा।
\[ \text{M.D.}(\bar{y}) = \frac{1}{n} \sum |y_i - \bar{y}| = \frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}| = \text{M.D.}(\bar{x}) \]

• इसी प्रकार, माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन भी नहीं बदलेगा। प्रसरण भी मूल बिंदु के बदलाव से स्वतंत्र होता है, अतः प्रसरण भी नहीं बदलेगा (प्रसरण केवल पैमाने के बदलाव से बदलता है)।

अतः, "माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन नहीं बदलेगा" कथन पूर्णतः सत्य है।

Step 3: Final Answer:
अतः, सही विकल्प (A) है क्योंकि विक्षेपण के सभी माप (अपकिरण की मापें) आँकड़ों में कोई नियत संख्या जोड़ने या घटाने से प्रभावित नहीं होते हैं।